KUŽELOSEČKY V OBECNÉ POLOZE I

Abstrakt. V hodinách matematiky na středních školách se studenti učí analyticky popisovat kuželosečky v rovině. Jedná se o kružnici, elipsu, parabolu a hyperbolu. Pro zjednodušení tohoto popisu se předpokládá, že hlavní a vedlejší osy elipsy nebo hyperboly, či osa paraboly jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami kartézské souřadnicové soustavy. V tomto článku se společně se čtenáři pokusíme prozkoumat situaci, při které tyto hlavní a vedlejší osy rovnoběžné se souřadnicovými osami nejsou. Vše si budeme postupně demonstrovat na konkrétním příkladu elipsy.

Naším společným úkolem bude nahlédnout skrze konkrétní příklad, jakým způsobem se změní obecný tvar rovnice elipsy, jestliže její hlavní osa bude s osou $x$ svírat námi zvolený úhel. Protože vedlejší osa je na hlavní osu kolmá, bude tato vedlejší osa svírat s osou $y$ stejně velký úhel.

Začněme formulací studovaného problému. Zvolme si pro začátek elipsu se středem v počátku souřadnicové soustavy. Velikost její hlavní poloosy $a$ bude $5$ a velikost vedlejší poloosy $b$ budou $3$. Hlavní osa elipsy bude svírat s osou $x$ úhel $45°$. Jedná se tedy o přímku s rovnicí $y=x$ (osu prvního a třetího kvadrantu). Evidentně přímka s rovnicí $y=-x$ je vedlejší osa této elipsy. Situace je znázorněna na obrázku vpravo.

Naším úkolem je nalézt implicitní analytické vyjádření takto zadané elipsy. Neboli popsat rovnicí množinu všech bodů $X[x,y]$ v rovině, které leží na dané elipse.

Napsat takovou rovnici by bylo snadné, pokud by hlavní osa byla rovnoběžná s osou $x$ nebo $y$. V tomto případě tomu tak není. Co ale můžeme udělat, je zavést nový souřadnicový systém, ve kterém námi definovaná elipsa bude mít požadované umístění. Jednoduše se nabízí zvolit tuto souřadnicovou soustavu tak, že její počátek $O'$ bude shodný s počátkem $O$ (původní) kartézské soustavy, hlavní osa elipsy bude určovat novou osu $x$ (označme jako $x'$) a konečně vedlejší osa elipsy bude určovat novou osu $y$, kterou označníme jako $y'$. V tuto chvíli můžeme souřadnice libovolného bodu $X$ v rovině popsat jednak vůči původní (nečárkované)soustavě $Oxy$ nebo vzhledem k nové čárkované soustavě $O'x'y'$.

Středový tvar rovnice elipsy v čárkované soustavě je potom $$\frac{x'^2}{25}+\frac{y'^2}{9}=1.$$ Po jednoduché úpravě píšeme obecnou rovnici elpisy v čárkované soustavě ve tvaru \begin{equation} 9x'^2+25y'^2-225=0. \label{obecna_rovnice_elipsy} \end{equation}

Jak již bylo řečeno, souřadnice každého bodu eukleidovské roviny můžeme popsat vzhledem ke dvěma souřadnicovým systémů, které jsou vůči sobě pootočeny o úhel $45°$. Úkol, který je nyní před námi, je najít transformační rovnice mezi těmito dvěma soustavami. V jednoduchosti řečeno chceme vyjádřit čárkované souřadnice vzhledem k nečárkovaným. K tomu nám pomohou směrové vektory souřadnicových os. V nečárkované soustavě to jsou vektory standarní báze $\boldsymbol{e}_1=(1,0)$ a $\boldsymbol{e}_2=(0,1)$. Abychom zachovali ortonormalitu i u vektorů určujících čárkované souřadnice, zvolíme proto vektory jednotkové délky. Tyto vektory označme jako $\boldsymbol{u}_1=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ a $\boldsymbol{u}_2=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Poznamenejme, že souřadnice těchto vektorů udáváme vzhledem k nečárkované souřadnicové soustavě.

Libovolný vektor $\boldsymbol{x}$, který má vzhledem k čárkované soustavě souřadnice $x'$ a $y'$ (tedy $\boldsymbol{x}=(x',y')$), lze zapsat jako lineární kombinace vektorů $\boldsymbol{u}_1$ a $\boldsymbol{u}_2$ ve tvaru \begin{equation} \boldsymbol{x}=x'\boldsymbol{u}_1+y'\boldsymbol{u}_2. \label{vektor_x} \end{equation}

Vektory $\boldsymbol{u}_1$ a $\boldsymbol{u}_2$ vyjádřeme pomocí vektorů $\boldsymbol{e}_1$ a $\boldsymbol{e}_2$. Platí $$\boldsymbol{u}_1=\frac{\sqrt{2}}{2}\boldsymbol{e}_1+\frac{\sqrt{2}}{2}\boldsymbol{e}_2 \quad \text{a}\quad \boldsymbol{u}_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}\boldsymbol{e}_1+\frac{\sqrt{2}}{2}\boldsymbol{e}_2.$$

Dosazením do \eqref{vektor_x} dostáváme \begin{align*} \boldsymbol{x}&=x'\left[\frac{\sqrt{2}}{2}\boldsymbol{e}_1+\frac{\sqrt{2}}{2}\boldsymbol{e}_2\right]+y'\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}\boldsymbol{e}_1+\frac{\sqrt{2}}{2}\boldsymbol{e}_2\right]=\\ &=\frac{\sqrt{2}}{2}(x'-y')\boldsymbol{e}_1+\frac{\sqrt{2}}{2}(x'+y')\boldsymbol{e}_2. \end{align*}

Tímto jsme vyjádřily vektor $\boldsymbol{x}$ jako lineární kombinaci vektorů $\boldsymbol{e}_1$ a $\boldsymbol{e}_2$. Koeficienty lineární kombinace jsou souřadnicemi vektoru $\boldsymbol{x}$ vzhledem k nečárkované soustavě souřadnic $Oxy$. Pokud měl vektor $\boldsymbol{x}$ vzhledem k nečárkované soustavě $Oxy$ souřadnice $x$ a $y$ (tj. $\boldsymbol{x}=(x,y)$), potom platí $$(x,y)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(x'-y'),\frac{\sqrt{2}}{2}(x'+y')\right).$$

Dva aritmetické vektory se rovnají právě tehdy, když se rovnají jejich příslušné komponenty. Tím dostáváme dvojici rovnic, ze kterých několika jednoduchými úpravami můžeme vyjádřit čárkované souřadnice $x'$ a $y'$ pomocí nečárkovaných $x$ a $y$. Celkem dostáváme \begin{align*} x'&=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y,\\ y'&=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y. \end{align*}

Tranformační rovnice dosaďme do obecné rovnice elipsy \eqref{obecna_rovnice_elipsy} a upravujme. Postupně obdržíme \begin{align*} 9\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y\right)^2+25\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y\right)^2-225&=0,\\ 9\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\left(x+y\right)^2+25\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\left(-x+y\right)^2-225&=0,\\ \frac{9}{2}(x^2+2xy+y^2)+\frac{25}{2}(x^2-2xy+y^2)-225&=0,\\ 9x^2+25x^2+18xy-50xy+9y^2+25y^2-450&=0,\\ 34x^2-32xy+34y^2-450&=0. \end{align*} Poslední rovnici lze ještě vynásobit číslem $\frac{1}{2}$ a tím nalézt obecnou rovnici zadané elipsy vzhledem k souřadnicovému systému $Oxy$. Výsledná rovnice je tedy ve tvaru \begin{equation} 17x^2-16xy+17y^2-225=0. \end{equation}

Pojďme si nyní povšimnout několika zvlášností této rovnice. Především v rovnici přibyl kvadratický člen $xy$, který v obecné rovnici elipsy na střední škole nepotkáme. Dále koeficienty u $x^2$ a $y^2$ jsou stejné. Ze střední školy máme naučeno, že pokud jsou tyto koeficienty stejné, může se jednat o kružnici. Ale zde máme elipsu, čili toto pravidlo platí pouze v případech, kdy osy kuželosečky jsou rovnoběžné s osami souřadnicového systému. A nakonec koeficienty vyjma absolutní člen nám explicitně nic neříkají o základních parametrech elipsy jako jsou velká a malá poloosa. Odtud lze usoudit, že obrácená cesta výpočtu nebude příliš jednoduchá.

Pokusme se naší úlohu ještě rozšířit. V předchozím jsme předpokládali, že elipsa má střed v počátku soustavy $Oxy$. Co se stane s rovnicí, zvolíme-li střed elipsy v bodě $S[m,n]\neq[0,0]$ (souřadnice bodu $S$ jsou vzhledem k $Oxy$)? V prvním kroku nalezení odpovědi na tuto otázku je třeba revidovat a znovuzavést souřadné systémy, se kterými jsme pracovali. Celkem nyní budeme mít tři souřadnicové soustavy. První soustava, kterou označíme $O''x''y''$, bude spojena s elipsou. Tedy $O''=S$, $x''$ je hlavní osa elipsy a $y''$ je vedlejší osa elipsy. Druhý systém, který budeme značit $O'x'y'$ bude systém, jehož počátek je rovněž ve středu elipsy $O'=S$, osa $x'$ je přímka $y=n$ a osa $y'$ je přímka s rovnicí $x=m$. Nakonec máme referenční soustavu $Oxy$.

Zvolme jako nový střed elipsy bod $S[1;2]$. Rovnice elipsy, kterou jsme v předešlém textu odvodili, je vlastně (v tomto případě) rovnicí elipsy vzhledem k souřadnicové soustavě $O'x'y'$. Můžeme tedy okamžitě psát \begin{equation} 17x'^2-16x'y'+17y'^2-225=0. \label{obecna_carkovana_elipsa} \end{equation}

Tranformovat souřadnice mezi soustavami $O'x'y'$ a $Oxy$ je snadné. Jde o posunutí o vektor $(-1,-2)$. Proto tranformační rovnice píšeme jako \begin{align*} x'&=x-1,\\ y'&=y-2. \end{align*} Dosazením do \eqref{obecna_carkovana_elipsa} a následnými úpravami dostáváme \begin{align*} 17(x-1)^2-16(x-1)(y-2)+17(y-2)^2-225&=0,\\ 17(x^2-2x+1)-16(xy-2x-y+2)+17(y^2-4y+4)-225&=0,\\ 17x^2-16xy+17y^2-2x-52y-172&=0. \end{align*} Závěr tedy zní, že námi zadaná elipsa se středem v bodě $S[1;2]$, jejíž hlavní osa je rovnoběžná s přímkou $y=x$ a vedlejší osa je rovnoběřná s přímkou $y=-x$ má pro $a=5$ a $b=3$ obecnou rovnici $$17x^2-16xy+17y^2-2x-52y-172=0.$$

V předchozím textu se nám podařilo nalézt postup, kterým můžeme analyticky popsat předem zadanou kuželosečku. To znamená umíme danou kuželosečku popsat její obecnou rovnicí. Přestože jsme postup odvozovali na konkrétní úloze elipsy, lze postupovat stejným způsobem s libovolnou jinou kuželosečkou. Na závěr tohoto článku se pokusíme nalézt obecnou rovnici ještě jedné námi zvolené křivky.


Příklad. Nalezněte obecnou rovnici paraboly s ohniskem v bodě $F[1,1]$, jejíž řídicí přímka má rovnici $y=x-4$.

Řešení. Najít parametr paraboly a souřadnice jejího vrcholu je jednoduchá analytická úloha, kterou zde formálně nebudeme řešit a povíme si rovnou její výsledek. Pro parametr $p$ nalezneme, že $p=2\sqrt{2}$. Vrchol leží v bodě $V[2,0]$.

První souřadnicový systém $O''x''y''$ budeme volit tak, aby jeho počátek $O''$ byl shodný s vrcholem paraboly $V$. Osa $x''$ bude přímka s rovnicí $y=x-2$, osa $y''$ je přímka kolmá na osu $x''$ procházející vrcholem paraboly $V$, tj. přímka s rovnicí $y=-x+2$. Vzhledem k systému $O''x''y''$ má potom parabola vrcholovou rovnici \begin{equation} x''^2=4\sqrt{2}y''. \label{rovnice_paraboly} \end{equation}

Druhý souřadnicový systém $O'x'y'$ zvolíme následujícím způsobem. Počátek ztotožníme opět s vrcholem paraboly, tedy $O'=O''=V$. Osa $x'$ bude přímka s rovnicí $y=0$ a osa $y'$ přímka s rovnicí $x=2$.

Je dobře patrné, že dvoučárkované souřadnice jsou vzhledem k jednočárkovaným pootočeny o $45°$. Z tohoto důvodu můžeme použít již nalezené transformační rovnice (tedy s jednou čárkou navíc). Platí tedy \begin{align*} x''&=\frac{\sqrt{2}}{2}x'+\frac{\sqrt{2}}{2}y',\\ y''&=-\frac{\sqrt{2}}{2}x'+\frac{\sqrt{2}}{2}y'. \end{align*} Dosazením transformačních rovnic do rovnice \eqref{rovnice_paraboly} a po několika úpravách dostáváme \begin{align*} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}x'+\frac{\sqrt{2}}{2}y'\right)^2&=4\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}x'+\frac{\sqrt{2}}{2}y'\right),\\ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2(x'^2+2x'y'+y'^2)&=4\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}(y'-x'),\\ x'^2+2x'y'+y'^2&=8y'-8x'. \end{align*} Vzhledem k souřadnicové soustavě $O'x'y'$ má parabola obecnou rovnici ve tvaru \begin{equation} x'^2+2x'y'+y'^2+8x'-8y'=0. \label{rovnice_paraboly2} \end{equation}

Standardní systém $Oxy$ je vzhledem k souřadnicové soustavě $O'x'y'$ posunut o vektor $(-2,0)$. Platí tedy \begin{align*} x'&=x-2,\\ y'&=y. \end{align*} Po dosazení do rovnice \eqref{rovnice_paraboly2} dostáváme \begin{align*} (x-2)^2+2(x-2)y+y^2+8(x-2)-8y&=0,\\ x^2-4y+4+2xy-4y+y^2+8x-16-8y&=0,\\ x^2+2xy+y^2+4x-12y-12&=0. \end{align*} Nalezli jsme obecnou rovnici paraboly vzhledem k souřadnicovému systému $Oxy$ a příklad tím vyřešili.

V rámci tohoto článku jsme se seznámili se způsobem nalezení obecné rovnice libovolné kuželosečky v rovině. Tedy máme-li přesně zadanou kuželosečku, u které známe všechny potřebné parametry, můžeme postupnými transformacemi souřadnic dospět k obecné rovnici. Otázkou ale zůstává, jak bychom postupovali, pokud bychom znali obecnou rovnici a bylo naším úkolem rozhodnout, o jakou kuželosečku se jedná a jaké má tato kuželosečka vlastnosti. To je otázka, na kterou se nedá jednoduše odpovědět, a proto tomu věnujeme druhý díl našeho seriálu Kuželosečky v obecné poloze II.


© Michal Řepík