KUŽELOSEČKY V OBECNÉ POLOZE II

Abstrakt. Předkládaný článek je volným navázáním na problematiku kuželoseček, kterou jsme nastínili v příspěvku Kuželosečky v obecné poloze I. Zde jsme nalezli způsob, jakým popsat kuželosečku obecnou rovnicí v případě, kdy její hlavní a vedlejší osy, či osa a řídicí přímka, nemají vzhledem k souřadnicovým osám kartézského souřadnicového systému speciální polohou (tj. nejsou s těmito osami rovnoběžné). V tomto článku se zaměříme na to, jak z obecné rovnice takové kuželosečky zjistit potřebné informace o její poloze a tvaru. Postup, který zvolíme, bude sice obtížnější, nicméně nepřesáhne mantinelů středoškolské matematiky. Proto věřím, že pro studenty středních škol bude text přínosný.

Obecná rovnice kuželosečky

V předchozím díle jsme postupnými tranformacemi souřadnicových systémů dospěli k obecnému tvaru rovnice kuželosečky. Tento tvar, byť byl odvozen na dvojici konkrétních příkladů, je univerzální. Na rozdíl od obecné rovnice kuželosečky, kterou dobře známe z hodin matematiky na střední škole, obsahuje tento tvar navíc kvadratický člen $xy$.

Pro formálnost nyní definujme, co míníme pod pojmem obecná rovnice kuželosečky.


Definice (Obecná rovnice kuželosečky). Nechť je v eukleidovské rovině $\mathbb{E}^2$ dána kartézská soustava souřadnic $Oxy$. Pak je každou rovnicí tvaru \begin{equation} Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0, \label{obecna_rovnice} \end{equation} kde alespoň jeden z reálných koeficientů $A,B,C$ je různý od $0$, popsána kuželosečka. Rovnici \eqref{obecna_rovnice} nazýváme obecnou rovnicí kuželosečky.

Předchozí definicí jsme vlastně redefinovali pojem kuželosečka. Vlastně jsme rozšířili záběr na objekty, které bychom standardně za kuželosečky nepovažovali. Je to dáno tím, že za kuželosečku považujeme všechny objekty, které lze popsat obecnou rovnicí \eqref{obecna_rovnice}. Tak například rovnice $xy=0$, která vyhovuje nové definici $(B=1)$, popisuje v rovině $\mathbb{E}^2$ dvojici přímek $x=0$ a $y=0$. Naopak rovnicí $x^2+y^2=0$ je popsán jeden jediný bod, kterým je počátek souřadnicové soustavy $O[0,0]$. Takto bychom mohli pokračovat. Pro zajímavost ještě uveďme jeden příklad. Rovnice $x^2+y^2+5=0$ nesplňuje žádný bod eukleidovské roviny, přesto je touto rovnicí, ve shodě se zformulovanou definicí, určena kuželosečka. Toto je příklad tzv. imaginární kružnice.

Z výše uvedeného plyne, že pokud chceme vyšetřovat kuželosečky v obecné poloze, situace se nám do značné míry komplikuje už jen se zavedením toho, co to vlastně kuželosečka je. Proto zavádíme poměrně složitou klasifikaci kuželoseček na tzv. regulární (vlastní) a singulární (nevlastní, degenerované). Mezi kuželosečky regulární řadíme kružnici, elipsu, hyperbolu a parabolu. Mezi degenerované kuželosečky patří již uváděné dvě přímky (reálné nebo imaginární), bod nebo imaginární kružnice (imaginární elipsa).

Dále rozdělujeme kuželosečky na středové a nestředové. Mezi středové kuželosečky patří kružnice, elipsa a hyperbola. Tedy kuželosečky, které mají střed, a u kterých zjišťujeme tzv. středovou rovnici. Nestředovou kuželosečkou je např. parabola.

Je potřeba si uvědomit, že námi zavedená třídění jsou svým způsobem povrchní, tudíž jsme vůbec nezahrnuli všechny případy, které mohou nastat. Situace by se zpřehlednila, pokud bychom disponovali maticovým počtem. Pak lze kuželosečky celkem přehledně třídit pomocí tzv. invariantů. V tomto textu se pro jednoduchost budeme zabývat pouze vlastními kuželosečkami.

Rotace kartézské soustavy souřadnic

Mějme v eukleidovské rovině $\mathbb{E}^2$ dány dvě ortonormální souřadnicové soustavy $Oxy$ a $O'x'y'$, které mají společný počátek a jsou vůči sobě otočeny o úhel $\vartheta$. V tomto paragrafu se zaměříme na precizování toho, co jsme v minulém díle prováděli zcela běžně, a to transformaci souřadnic z jedné souřadnicové soustavy do druhé. Připomeňme si situaci na obrázku vpravo. Libovolný bod $X$ je možné popsat vzhledem ke dvěma souřadnicovým systémům, čárkovanému a nečárkovanému. Jak bude vypadat transformační rovnice, chceme-li vyjádřit nečárkované souřadnice pomocí čárkovaných?

Postupujme podobně jako v případě elipsy v minulém díle. Zvolme si směrové vektory jednotlivých souřadnicových os. Aby oba systémy byly ortonormální, musí být směrový vektory os $x$ a $y$ navzájem kolmé a jednotkové délky. To samé platí pro směrové vektory os $x'$ a $y'$.

V případě souřadnicové soustavy $Oxy$ je situace jednoduchá. Směrový vektor osy $x$ je vektor $\boldsymbol{e}_1=(1,0)$, směrový vektor osy $y$ je vektor $\boldsymbol{e}_2=(0,1)$. Orientaci vektorů volíme tak, aby odpovídala růstu kladných hodnot jednotlivých souřadnic. Je jednoduché si rozmyslet, že směrový vektor osy $x'$ bude $\boldsymbol{u}_1=(\cos\vartheta,\sin\vartheta)$ a osy $y'$ vektor $\boldsymbol{u}_2=(-\sin\vartheta, cos\vartheta)$. Přesvědčte se, že vektory $\boldsymbol{u}_1$ a $\boldsymbol{u}_2$ jsou navzájem kolmé (ortogonální) a mají jednotkovou délku. Souřadnice vektorů $\boldsymbol{u}_1$ a $\boldsymbol{u}_2$ jsou dány vzhledem k souřadnicové soustavě $Oxy$, proto můžeme psát $$\boldsymbol{u}_1=\cos\vartheta\boldsymbol{e}_1+\sin\vartheta\boldsymbol{e}_2 \quad\text{a}\quad \boldsymbol{u}_2=-\sin\vartheta\boldsymbol{e}_1+\cos\vartheta\boldsymbol{e}_2.$$

Vektor $\boldsymbol{x}=\overrightarrow{OX}$, jehož koncovým bodem je libovolný bod $X$ v rovině, má vzhledem k nečárkované soustavě souřadnice $\boldsymbol{x}=(x,y)$. Vzhledem k čárkované soustavě pak má tento vektor souřadnice $\boldsymbol{x}=(x',y')$. Proto jej můžeme napsat jednak jako lineární kombinaci vektorů $\boldsymbol{e}_1$, $\boldsymbol{e}_2$ $$\boldsymbol{x}=x\boldsymbol{e}_1+y\boldsymbol{e}_2,$$ jednak pomocí vektorů $\boldsymbol{u}_1$ a $\boldsymbol{u}_2$ $$\boldsymbol{x}=x'\boldsymbol{u}_1+y'\boldsymbol{u}_2.$$ Dosadíme-li za vektory $\boldsymbol{u}_1$ a $\boldsymbol{u}_2$ jejich vyjádření pomocí vektorů $\boldsymbol{e}_1$ a $\boldsymbol{e}_2$. Postupnými úpravami dostáváme \begin{align*} \boldsymbol{x}&=x'\left(\cos\vartheta\boldsymbol{e}_1+\sin\vartheta\boldsymbol{e}_2\right) +y'\left(-\sin\vartheta\boldsymbol{e}_1+\cos\vartheta\boldsymbol{e}_2\right)=\\ &=(x'\cos\vartheta-y'\sin\vartheta)\boldsymbol{e}_1+(x'\sin\vartheta+y'\cos\vartheta)\boldsymbol{e}_2. \end{align*} Odtud dostáváme převodní rovnice mezi čárkovanými a nečárkovanými souřadnicemi. Zformulujme zjištěné poznatky do jednoduchého tvrzení.


Tvrzení (Rotace kartézské soustavy souřadnic). Nechť $Oxy$ a $O'x'y'$ jsou dvě ortonormální souřadnicové systémy se společným počátkem, které jsou vůči sobě otočeny o úhel $\vartheta$. Pro převod mezi čárkovanými souřadnicemi na nečárkované platí následující transformační rovnice \begin{align} x&=x'\cos\vartheta-y'\sin\vartheta,\\ y&=x'\sin\vartheta+y'\cos\vartheta. \end{align}

Poznámka. Na závěr kapitoly poznamenejme, že osa $x'$ má vzhledem k původní souřadnicové soustavě $Oxy$ rovnici ve směrnicovém tvaru $y=x\mathrm{tg}\vartheta$. Osa $y'$, která je na osu $x'$ kolmá, má vzhledem k $Oxy$ rovnici $y=-\frac{1}{\mathrm{tg}\vartheta}x$.

Vyšetřování kuželosečky určené obecnou rovnicí

V této kapitole se pokusíme výše uvedeného využít k tomu, abychom kuželosečku zadanou obecnou rovnicí převedli vhodnou transformací souřadnic do tvaru, který odhalí, o jakou kuželosečku se jedná a jaké jsou její základní vlastnosti.

Přímočarý způsob, jak toho dosáhnout, je najít takovou soustavu souřadnic $O'x'y'$, vzhledem ke které jsou hlavní a vedlejší osa (osa a řídicí přímka) dané kuželosečky rovnoběžné. Soustava $O'x'y'$ je vůči původní soustavě $Oxy$ otočena o neznámý úhel $\vartheta$. Bylo by tedy rozumné zkoumat, jakou hodnotu úhlu natočení $\vartheta$ souřadnicového systému $O'x'y'$ zvolit, neboť v těchto nových souřadnicích nebude obecná rovnice kuželosečky obsahovat kvadratický člen $x'y'$.

Uvědomme si, že hodnotu úhlu $\vartheta$ nemusíme znát přímo, nýbrž zprostředkovaně skrze hodnoty $\cos\vartheta$ a $\sin\vartheta$. Označme tyto hodnoty postupně $a_1$ a $a_2$. Transformační rovnice přepišme v nově zavedené symbolice. Platí \begin{align} x &=a_1x'-a_2y', \label{transformace1}\\ y &=a_2x'+a_1y'. \label{transformace2} \end{align} Je důležité si rovněž uvědomit, že pro hodnoty $a_1$ a $a_2$ dále platí $a_1^2+a_2^2=1$.

Zaveďme další úmluvu. Není těžké nahlédnout, že prvním kvadrantem bude při úhlu $\vartheta$ různém od $k\pi/2$ ($k\in\mathbb{Z}$) vždy procházet nějaká souřadnicová osa systému $O'x'y'$. Abychom vše ujednotili, zvolíme tuto osu za osu $x'$, čímž budou hodnoty koeficientů $a_1$ a $a_2$ ležet v intervalu $(0,1)$.

Dosaďme transformační rovnice \eqref{transformace1} a \eqref{transformace2} do obecné rovnice kuželosečky \eqref{obecna_rovnice} (předpokládejme, že $B\neq 0$). Dostáváme $$A(a_1x'-a_2y')^2+B(a_1x'-a_2y')(a_2x'+a_1y')+C(a_2x'+a_1y')^2+p(x',y')=0,$$ kde $p(x',y')$ značí polynom v proměnných $x'$ a $y'$, ve kterém se tyto proměnné vyskytují v nejvýše první mocnině. Po nenáročných úpravách dostáváme \begin{multline} (Aa_1^2+Ba_1a_2+Ca_2^2)x'^2+(-2Aa_1a_2+Ba_1^2-Ba_2^2+2Ca_1a_2)x'y'+\\ +(Aa_2^2-Ba_1a_2+Ca_1^2)y'^2+p(x',y')=0. \end{multline}

V nové soustavě požadujeme, aby koeficient u členu $x'y'$ byl nulový. Musí proto platit \begin{align} -2Aa_1a_2+Ba_1^2-Ba_2^2+2Ca_1a_2&=0,\notag \\ 2(C-A)a_1a_2&=B(a_2^2-a_1^2). \label{B_carka} \end{align} Pro $C=A$ máme $a_1^2=a_2^2$. Dosazením $a_2^2=1-a_1^2$ a s použitím podmínky $a_1,a_2\in(0,1)$ dále dostáváme, že $a_1=a_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Pokud $A\neq C$, dosazením $a_2=\sqrt{1-a_1^2}$ a s použitím podmínky $a_1,a_2\in(0,1)$ dále platí \begin{align*} 2(C-A)a_1\sqrt{1-a_1^2}&=B(1-a_1^2-a_1^2),\\ a_1^2-a_1^4&=\frac{1}{4}\left(\frac{B}{A-C}\right)^2(1-4a_1^2+4a_1^4),\\ \left[1+\left(\frac{B}{A-C}\right)^2\right]a_1^4-\left[1+\left(\frac{B}{A-C}\right)^2\right]a_1^2+\frac{1}{4}\left(\frac{B}{A-C}\right)^2&=0. \end{align*}

Řešením bikvadratické rovnice s neznámou $a_1$ a následným dopočítáním neznámé $a_2$, které pro zachování přehlednosti textu nebudeme provádět, nalezneme pro hodnoty $a_1$ a $a_2$ celkem osm možných řešení, z nichž podmínce $a_1,a_2\in(0,1)$ vyhovují pouze dvě dvojice ve tvaru $$(a_1,a_2)\in\left\{ \left(\sqrt{\frac{1}{2}\pm\frac{1}{2\sqrt{1+\left(\frac{B}{A-C}\right)^2}}}, \sqrt{\frac{1}{2}\mp\frac{1}{2\sqrt{1+\left(\frac{B}{A-C}\right)^2}}}\right) \right\}.$$

Zbývá tedy rozhodnout, která z dané dvojice je skutečným hledaným řešením.

Důvod, proč hledané řešení není dáno jednoznačně, je způsoben použitím neekvivalentních úprav aplikovaných na rovnici \eqref{B_carka}. Abychom problém vyřešili, stačí vyjít z toho, že parametry $a_1$ a $a_2$ musí splňovat rovnici \eqref{B_carka}. Upravme tuto rovnici do podoby $$a_1a_2=\left(\frac{B}{A-C}\right)(a_1^2-a_2^2).$$ Levá strana rovnice je za předpokladu $a_1,a_2\in(0,1)$ kladná ($a_1a_2>0$), a proto musí být kladná i strana pravá. Jestliže například výraz $B/(A-C)$ bude záporný, musí být záporný i rozdíl druhých mocnin $a_1^2-a_2^2$. V takovém případě je $a_2>a_1$ a podle toho můžeme rozhodnout, která z dvojic vyhovuje dané rovnici. Tuto úvahu můžeme zopakovat pro případ, kdy výraz $B/(A-C)$ bude kladný. Celkově dostáváme následující rozdělení \begin{equation} \frac{B}{A-C}>0\Rightarrow (a_1,a_2)=\left(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{1+\left(\frac{B}{A-C}\right)^2}}}, \sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{1+\left(\frac{B}{A-C}\right)^2}}}\right), \label{koeficienty} \end{equation} \begin{equation} \frac{B}{A-C}<0\Rightarrow (a_1,a_2)=\left(\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{1+\left(\frac{B}{A-C}\right)^2}}}, \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{1+\left(\frac{B}{A-C}\right)^2}}}\right). \end{equation}

Nalezli jsme přímý postup pro výpočet koeficientů $a_1$ a $a_2$. Pokud tedy máme obecnou rovnici kuželosečky, můžeme nalézt konkrétní tvar transformačních rovnic \eqref{transformace1} a \eqref{transformace2}, které pak dosadíme do zadané obecné rovnice kuželosečky. Úpravami získáme obecnou rovnici kuželosečky v nové, čárkované soustavě $O'x'y'$, ve které koeficient u členu $x'y'$ je nulový. Nově vzniklou obecnou rovnici, se kterou již umíme pracovat ze střední školy, převedeme na středovou nebo vrcholovou rovnici kuželosečky. Vzhledem k tomu, že pracujeme v ortonormálním systému, zachovávají se při transformacích základní parametry kuželosečky (délka poloos, parametr).


Poznámka. Výhoda předchozího postupu, kde $a_1=\cos\vartheta$ a $a_2=\sin\vartheta$, spočívá v tom, že řešením dostáváme explicitní vyjádření koeficientů transformace \eqref{transformace1} a \eqref{transformace2} (přeznačení jsme zavedli především z důvodu přehlednosti). Z nich samozřejmě můžeme dohledat velikost úhlu $\vartheta$, který svírá osa $x'$ s kladným směrem osy $x$. Kdybychom parametry $a_1$ a $a_2$ nezaváděli a používali goniometrické identity, psali bychom postupně \begin{align*} (A-C)2\cos\vartheta\sin\vartheta&=B(\cos^2\vartheta-\sin^2\vartheta),\\ (A-C)\sin 2\vartheta&=B\cos 2\vartheta,\\ \frac{\cos 2\vartheta}{\sin 2\vartheta}&=\frac{A-C}{B},\\ \mathrm{cotg}2\vartheta&=\frac{A-C}{B}. \end{align*} Dostáváme vztah mezi koeficienty $A,B,C$ a úhlem $\vartheta$. Tato rovnost je pro přípustné hodnoty koeficientů $A,B,C$ uváděna v tabulkách a matematické literatuře. Bylo tedy užitečné ji na tomto místě článku zmínit.

Pokusme se obecně platný postup aplikovat při řešení konkrétní úlohy.


Příklad. Zjistěte typ kuželosečky, souřadnice význačných bodů, rovnice významných přímek a os, je-li kuželosečka dána v soustavě $Oxy$ euklidovského prostoru $\mathbb{E}^2$ obecnou rovnicí $$64x^2+96xy+36y^2-15x+20y-25=0.$$

Řešení. Z rovnice jednoduše identifikujeme koeficienty $A=64$, $B=96$ a $C=36$. Jelikož $B/(A-C)=96/(64-36)>0$, použijeme pro výpočet koeficientů $a_1$ a $a_2$ tranformace \eqref{transformace1} a \eqref{transformace2} předpis \eqref{koeficienty}. Dostáváme \begin{align*} a_1&=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{1+\left(\frac{B}{A-C}\right)^2}}}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{1+\left(\frac{96}{64-36}\right)^2}}}=\frac{4}{5},\\ a_2&=\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{1+\left(\frac{B}{A-C}\right)^2}}}=\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{1+\left(\frac{96}{64-36}\right)^2}}}=\frac{3}{5}. \end{align*}

Nalezené koeficienty $a_1$ a $a_2$ dosaďme do transformačních rovnic \eqref{transformace1} a \eqref{transformace2}. Platí \begin{align} x&=\frac{4}{5}x'-\frac{3}{5}y',\label{transformace3}\\ y&=\frac{3}{5}x'+\frac{4}{5}y'. \label{transformace4} \end{align} Nalezené transformační rovnice nám umožňují přejít se souřadnic $Oxy$ do souřadnic $O'x'y'$, ve kterých obecná rovnice kuželosečky nebude obsahovat kvadratický člen $x'y'$. Tento poznatek bude rovněž sloužit jako zkouška správnosti, neboť veškeré členy obsahující člen $x'y'$ by se měly navzájem odečíst. Dosazením transformačních rovnic do obecné rovnice kuželosečky a následnými úpravami dostáváme \begin{multline*} 64\left(\frac{4}{5}x'-\frac{3}{5}y'\right)^2+96\left(\frac{4}{5}x'-\frac{3}{5}y'\right)\left(\frac{3}{5}x'+\frac{4}{5}y'\right)+36\left(\frac{3}{5}x'+\frac{4}{5}y'\right)^2\\ -15\left(\frac{4}{5}x'-\frac{3}{5}y'\right)+20\left(\frac{3}{5}x'+\frac{4}{5}y'\right)-25=0, \end{multline*} \begin{multline*} \frac{64}{25}(16x'^2-24x'y'+9y'^2)+\frac{96}{25}(12x'^2+16x'y'-9x'y'-12y'^2)\\ +\frac{36}{25}(9x'^2+24x'y'+16y'^2)-3(4x'-3y')+4(3x'+4y')-25=0, \end{multline*} \begin{multline*} \left(16\cdot\frac{64}{25}+12\cdot\frac{96}{25}+9\cdot\frac{36}{25}\right)x'^2+\left(-24 \cdot\frac{64}{25}+7\cdot\frac{96}{25}+24\cdot\frac{36}{25}\right)x'y'\\ +\left(9\cdot\frac{64}{25}-12\cdot\frac{96}{25}+16\cdot\frac{36}{25}\right)y'^2+(12-12)x'+(16+9)y'=0. \end{multline*} Po provedení několika numerických výpočtů dostáváme obecnou rovnici kuželosečky ve tvaru \begin{align*} 100x'^2+25y'-25&=0,\\ 4x'^2+y'-1&=0. \end{align*}

Je zřejmé, že vyšetřovanou kuželosečkou je parabola. Převeďme její obecnou rovnici na vrcholový tvar. Dostáváme $$x'^2=-\frac{1}{4}(y'-1).$$

Z odvozené vrcholové rovnice paraboly můžeme jednoduše určit její hlavní vlastnosti. Předně její umístění. Mějme však stále na paměti, že odvozená vrcholová rovnice se vztahuje k čárkovanému souřadnicovému systému $O'x'y'$. Vzhledem k tomuto systému je osou paraboly přímo osa $y'$. Kvůli zápornému znaménku je parabola omezená shora. Vrchol paraboly vzhledem k soustavě $O'x'y'$ má souřadnice $V'[0,1]$. Pro parametr platí $p=\frac{1}{8}$. Odtud můžeme přímo určit souřadnice ohniska $F'\left[0,1-\frac{p}{2}\right]=F'\left[0,\frac{15}{16}\right]$ nebo rovnici řídicí přímky $d:y'=\frac{17}{16}$.

Jelikož jsou čárkované souřadnice pouze naším pomocným referenčním systémem (každý řešitel si může zavést vlastní konvenci), je zapotřebí řešení úlohy uvádět v souřadnicovém systému, ve kterém nám byla úloha zadána, tj. v systému $Oxy$. Popišme souřadnice vrcholu, ohniska a rovnici řídicí přímky vzhledem k nečárkovanému systému.

Pro souřadnice vrcholu a ohniska použijeme transformační rovnice \eqref{transformace3} a \eqref{transformace4}. Pro souřadnice vrcholu $V[x_V,y_V]$ platí $$x_V=\frac{4}{5}\cdot 0-\frac{3}{5}\cdot 1=-\frac{3}{5},\quad\quad y_V=\frac{3}{5}\cdot 0+\frac{4}{5}\cdot 1=\frac{4}{5}.$$ Vrchol má vzhledem k nečárkované soustavě souřadnice $V\left[-\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right]$. Stejným způsobem zjistíme, že souřadnice ohniska vzhledem k $Oxy$ jsou $F\left[-\frac{9}{16},\frac{3}{4}\right]$.

Na závěr nám zbývá popsat rovnici řídicí přímky. Vyjděme ze dvou poznatků. Prvním je rovnoběžnost řídicí přímky s osou $x'$. Normálový vektor je proto vektor $\boldsymbol{u}_2=(-a_2,a_1)=\left(-\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$. Druhý poznatek plyne z rovnice řídicí přímky v soustavě $O'x'y'$. Víme, že tato přímka prochází bodem $\left[0,\frac{17}{16}\right]$ (v čárkovaných souřadnicích). Po převedení do nečárkovaných souřadnic máme přímku zadanou normálovým vektorem a bodem. Je proto jednoduché po několika málo výpočtech zjistit, že námi hledaná rovnice řídicí přímky je $$48x-64y+85=0.$$

Druhý díl seriálu o kuželosečkách v obecné poloze ukončíme krátkým zhodnocením. V rámci textu jsme formálně zavedli pojem obecná rovnice kuželosečky a nastínili základní klasifikaci kuželoseček. Dále jsme se věnovali transformaci souřadnic při otočení kartézské soustavy o úhel $\vartheta$. Zjištěné závěry jsme použili k hledání obecného postupu, kterým lze zjistit polohu a základní parametry kuželosečky zadané obecnou rovnicí. Nalezený postup jsme demonstrovali na konkrétní úloze.

V dalším díle Kuželosečky v obecné poloze III se budeme věnovat invariantům obecné rovnice kuželosečky a seznámíme se například se zlomkovými kuželosečkami.


© Michal Řepík