KUŽELOSEČKY V OBECNÉ POLOZE III

Abstrakt. Třetí pokračování seriálu Kuželosečky v obecné poloze navazuje na látku probíranou jak v textu Kuželosečky v obecné poloze I, tak v článku Kuželosečky v obecné poloze II. Příspěvek je rozdělen do dvou kapitol. V první se seznámíme s pojmem invariant obecné rovnice kuželosečky. Jedním z invariantů obecné rovnice kuželosečky je tzv. diskriminant kuželosečky, jehož význam nalezneme při určování typu kuželosečky ze zadaných koeficientů obecné rovnice. Druhá kapitola je zaměřena na řešení úlohy nalezení obecné rovnice kuželosečky z pěti jejích bodů, jejichž souřadnice známe. V zásadě jednoduchý numerický problém vedoucí na řešení soustavy lineárních rovnic doplníme netradičním pohledem skrze tzv. zlomkové kuželosečky, které nám ukazují velice zajímavou souvislost mezi aritmetikou, geometrií a algebrou.

Invarianty rovnice kuželosečky, diskriminant kuželosečky

Začněme výklad připomenutím základních poznatků z minulého článku. V prvé řadě jsme zavedli termín obecná rovnice kuželosečky a tím redefinovali pojem kuželosečka. Kuželosečku nyní chápeme jako jakoukoli množinu bodů v rovině $\mathbb{E}^2$ splňující obecnou rovnici kuželosečky \begin{equation} Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0, \label{obecna_rovnice} \end{equation}

kde alespoň jeden z koeficientů $A,B,C$ je různý od nuly.

Pro vyšetřování základních parametrů kuželosečky bylo nutné přejít ze souřadnic $Oxy$ do nových souřadnic $O'x'y'$, které jsou vůči původním pootočeny o úhel $\vartheta$ tak, aby jejich osy byly rovnoběžné s hlavní a vedlejší osou kuželosečky (v případě paraboly s její hlavní osou a řídicí přímkou). Transformace souřadnic byla popsána rovnicemi \begin{align} x&=a_1x'-a_2y',\label{transformace1} \\ y&=a_2x'+a_1y', \label{transformace2} \end{align} kde $a_1=\cos\vartheta$ a $a_2=\sin\vartheta$. Poznamenejme, že otočení kartézské soustavy můžeme provést zcela obecně o libovolný úhel $\vartheta$, který nezávisí na samotné kuželosečce.

Cílem první kapitoly předkádaného článku bude s pomocí již odvozené teorie předat čtenáři možnost rozhodnout z obecné rovnice kuželosečky, tedy z koeficientů této rovnice, o jaký typ kuželosečky se jedná. Využijeme přitom vlastnosti, která se nazývá invariant rovnice kuželosečky, konkrétně budeme používat tzv. diskriminant kuželosečky.

Invariant je matematický pojem, se kterým se setkáváme nejčastěji v souvislosti se zobrazením. V jednoduchosti řečeno, invariantem daného zobrazení nazýváme takovou vlastnost zobrazovaného objektu, která se tímto zobrazením zachovává. Příkladem může být obsah obrazce, který se zachovává při shodných zobrazení v rovině.

Transformační rovnice popisují otáčení kartézské souřadnicové soustavy. Otočení je shodné zobrazení. Je tedy přirozené, že některé vlastnosti kuželoseček a jejich rovnic se budou při takovém otočení zachovávat.


Věta 1 (O invariantech). Nechť $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ je obecná rovnice kuželosečky vzhledem k souřadnicovému systému $Oxy$. Nechť $A'x'^2+B'x'y'+C'y'^2+D'x'+E'y'+F'=0$ je obecná rovnice téže kuželosečky vzhledem k souřadnicovému systému $O'x'y'$, který vznikl otočením souřadnicového systému $Oxy$ kolem počátku $O$ o úhel $\vartheta$. Potom

  1. $A+C$ je invariantní vzhledem k rotacím souřadnicových systémů neboli $A+C=A'+C'$.
  2. $B^2-4AC$ je invariantní vzhledem k rotacím souřadnicových systémů neboli $B^2-4AC=B'^2-4A'C'$.

Důkaz. Dosazením transformačních rovnic \eqref{transformace1} a \eqref{transformace2} za proměnné $x$ a $y$ do obecné rovnice kuželosečky \eqref{obecna_rovnice} a následnou úpravou jsme v předchozím díle odvodili, že pro čárkované koeficienty $A', B', C'$ v nové souřadnicové soustavě platí \begin{align*} A'=&Aa_1^2+Ba_1a_2+Ca_2^2,\\ B'=&2(C-A)a_1a_2+B(a_1^2-a_2^2),\\ C'=&Aa_2^2-Ba_1a_2+Ca_1^2. \end{align*} Připomeňme, že pro parametry $a_1$ a $a_2$ dále platí $a_1^2+a_2^2=1$.

Důkaz prvního tvrzení spočívá v úpravě výrazu $A'+C'$ užitím odvozených vztahů. Dosazením za $A'$ a $C'$ a postupnými úpravami dostáváme \begin{align*} A'+C'=& Aa_1^2+Ba_1a_2+Ca_2^2+Aa_2^2-Ba_1a_2+Ca_1^2=\\ =&(a_1^2+a_2^2)A+(a_1^2+a_2^2)C=A+C. \end{align*} Zjišťujeme, že skutečně platí $A'+C'=A+C$, čímž je invariantnost výrazu $A+C$ dokázána.

Druhé tvrzení dokážeme analogicky jen s tím rozdílem, že úpravy výrazů budou o něco pracnější. Proto je také rozdělíme na dvě části. Postupně pro $B'^2$ platí \begin{align*} B'^2=& \left[2(C-A)a_1a_2+B(a_1^2-a_2^2)\right]^2=\\ =&4(C-A)^2a_1^2a_2^2+4(C-A)Ba_1a_2(a_1^2-a_2^2)+B^2(a_1^2-a_2^2)^2=\\ =&4(C^2-2AC+A^2)a_1^2a_2^2+(4BC-4AB)(a_1^3a_2-a_1a_2^3) +B^2a_1^4-2B^2a_1^2a_2^2+B^2a_2^4=\\ =& (4c^2-8AC+4A^2-2B^2)a_1^2a_2^2 +(4BC-4AB)a_1^3a_2+\\ &+(4AB-4BC)a_1a_2^3+B^2a_1^4 +B^2a_2^4. \end{align*} Podobně pro $A'C'$ dostáváme \begin{align*} A'C'=&(Aa_1^2+Ba_1a_2+Ca_2^2)(Aa_2^2-Ba_1a_2+Ca_1^2)=\\ =& A^2a_1^2a_2^2-ABa_1^3a_2+ACa_1^4+\\ & +ABa_1a_2^3-B^2a_1^2a_2^2 +BCa_1^3a_2+ACa_2^4-BCa_1a_2^2+C^2a_1^2a_2^2=\\ =&(A^2-B^2+C^2)a_1^2a_2^2+(BC-AB)a_1^3a_2+(AB-BC)a_1a_2^3+ACa_1^4+ACa_2^4, \end{align*}

a tedy \begin{align*} 4A'C'=&(4A^2-4B^2+C^2)a_1^2a_2^2+(4BC-4AB)a_1^3a_2+\\ &+(4AB-4BC)a_1a_2^3+4ACa_1^4+4ACa_2^4. \end{align*}

Po odečtení obou výrazů a uplatnění rovnosti $a_1^2+a_2^2=1$ konečně dostáváme \begin{align*} B'^2-4A'C'=&(2B^2-8AC)a_1^2a_2^2+(B^2-4AC)a_1^4+(B^2-4AC)a_2^4=\\ =&2(B^2-4AC)a_1^2a_2^2+(B^2-4AC)a_1^4+(B^2-4AC)a_2^4=\\ =&(B^2-4AC)(2a_1^2a_2^2+a_1^4+a_2^4)=(B^2-4AC)(a_1^2+a_2^2)^2=B^2-4AC. \end{align*} Dokázali jsme obě tvrzení a tím je důkaz věty dokončen. $\square$


Definice (Diskriminant kuželosečky). Nechť $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ je obecná rovnice kuželosečky vzhledem k souřadnicovému systému $Oxy$. Potom číslo $B^2-4AC$ nazýváme diskriminantem kuželosečky.

Diskriminant kuželosečky je dobře definován, neboť je invariantem a při rotacích souřadnicových systémů se proto jeho hodnota nemění, což bylo nyní dokázáno.

Ve speciálním případě, při vhodné volbě úhlu natočení $\vartheta$ souřadnicové soustavy $O'x'y'$, je koeficient $B'$ v čárkované formě obecné rovnice kuželosečky roven nule. Pro hodnotu diskriminantu potom platí $$B^2-4AC=-4A'C'.$$ Tohoto tvaru lze využít pro zjišťování typu kuželosečky. Ve chvíli, kdy koeficient $B'$ je nulový, máme v čárkované soustavě kuželosečku s obecnou rovnicí $$A'x'^2+C'y'^2+D'x'+E'y'+F'=0,$$

na kterou můžeme uplatňovat na střední škole probíraná poznávací znamení určující, o jakou kuželosečku se jedná. Na tomto principu, jak za okamžik uvidíme, je založena následující věta.


Věta 2 (O diskriminantu). Nechť $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ je obecná rovnice regulární kuželosečky $k$ vzhledem k souřadnicovému systému $Oxy$. Potom

  1. $k$ je parabola právě tehdy, když $B^2-4AC=0$.
  2. $k$ je hyperbola právě tehdy, když $B^2-4AC>0$.
  3. $k$ je elipsa právě tehdy, když $B^2-4AC<0$.

Důkaz. Než přistoupíme k samotnému důkazu předložené věty, je nutné si povšimnout předpokladu, že daná kuželosečka $k$ je vlastní (regulární). To znamená parabola, hyperbola, elipsa, nebo kružnice (je-li $A=C$ a zároveň $B=0$). Kromě regulárních kuželoseček existuje celá řada tzv. singulárních (nevlastních, degenerovaných) kuželoseček, o kterých jsme se stručně zmínili již v minulém díle. V případě, kdy nevíme, zda daná kuželosečka je regulární, nebo singulární, nahradíme rozhodnutí typu kuželosečkou je parabola, hyperbola, elipsa, která plynou z předložené věty 2 slabšími tezemi ve tvaru kuželosečkou by mohla být parabola, hyperbola, elipsa, neboť zkoumanou kuželosečkou by mohl být rovněž bod, imaginární kružnice, dvojice různoběžných přímek či jiná singulární kuželosečka. Jak rozhodnout o kuželosečce z jejích parametrů $A,B,\ldots,F$, zda je vlastní, nebo nevlastní, je již nad rámec tohoto textu.

Proveďme nyní důkaz pro první tvrzení věty, tj. pro parabolu. Tvrzení je ve tvaru ekvivalence, měli bychom jej tudíž dokazovat jako dvě implikace. Dokažme implikaci zleva. Tedy pokud je kuželosečkou $k$ parabola, platí $B^2-4AC=0$.

Kuželosečka $k$ je dána svojí rovnicí vzhledem k souřadnicím $Oxy$. Při transformaci do souřadnic $O'x'y'$ takové, že $B'=0$, je tato kuželosečka $k$ popsána rovnicí $$A'x'^2+C'y'^2+D'x'+E'y'+F'=0.$$ Jelikož se jedná o parabolu, musí být jeden z koeficientů $A'$ nebo $C'$ roven nule. Tuto skutečnost můžeme jednoduše zapsat podmínkou $A'C'=0$.

Ukázali jsme, že transformací souřadnicových systémů se nemění hodnota diskriminantu kuželosečky, proto $$B^2-4AC=-4A'C'=-4\cdot 0=0.$$ Celkem tak dostáváme, že pokud je kuželosečkou $k$ parabola, je $B^2-4AC=0$.

Implikaci zprava dokážeme stejně jednoduše. Jestliže $B^2-4AC=0$, je rovněž $-4A'C'=0$ a tudíž $A'C'=0$. Protože $A'C'=0$ platí, že buď $A'=0$ nebo $C'=0$. Protože kuželosečka $k$ je regulární, nemůže nastat situace, že oba koeficienty $A'$ i $C'$ jsou současně nulové. Z toho důvodu je čárkovanou rovnicí popsána parabola a inverzní transformací dostáváme rovnici této paraboly v nečárkovaných souřadnicích. Tím je důkaz prvního tvrzení dokončen.

Důkazy zbylých dvou tvrzení nebudeme formálně provádět. Technicky se důkaz provede v obou případech analogicky jako v případě paraboly. Rozdíl bude v podmínce $A'C'<0$ pro hyperbolu a $A'C'>0$ pro elipsu. $\square$

Zlomkové kuželosečky

uloha

Sedminová elipsa je označení pro elipsu, která prochází pěti (šesti) body generovanými desetinným rozvojem čísla $\frac{1}{7}$.

Zapíšeme-li racionální číslo $\frac{1}{7}$ ve tvaru desetinného čísla, zjistíme, že toto číslo je periodické s délkou periody rovné šesti. Platí totiž $$\frac{1}{7}=0,\overline{142857}.$$ Vytvořme postupně z daného zápisu množinu bodů v rovině tak, že první bod bude dvojice tvořená číslicemi na místě desetin a setin, druhý bod bude dvojice tvořená číslicemi na místě setin a tisícin, atd. Dostaneme tak množinu $\{[1;4],[4;2],[2;8],[8;5],[5;7]\}$.

Tato množina obsahuje pět bodů a není obtížné ukázat, že žádná trojice vybraná z těchto bodů není kolineární (neleží na jedné přímce).

Odbočme na chvíli trochu od tématu a vraťme se k obecné rovnici kuželosečky $$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.$$ Rovnice obsahuje celkem šest parametrů, kterými je kuželosečka určena. Pakliže celou rovnici vynásobíme nenulovým číslem, dostaneme jinou obecnou rovnici, avšak téže kuželosečky. To znamená, že kuželosečka je až na násobek svými parametry určena jednoznačně. Pokud jeden z parametrů (např. $A$) položíme roven jedné (vynásobíme celou rovnici číslem $\frac{1}{A}$ za předpokladu $A\neq 0$), zbývá nám pouze pět dalších parametrů ($\overline{B}=\frac{B}{A}$, $\overline{C}=\frac{C}{A}$, $\overline{D}=\frac{D}{A}$ atd.), jimiž je kuželosečka určena jednoznačně. Z toho vyplývá, že k jednoznačnému popisu kuželosečky potřebujeme znát jejích pět incidenčních bodů, z jejichž souřadnic sestavíme pět rovnic o pěti neznámých parametrech. Řešením systému lineárních rovnic nalezneme koeficienty kuželosečky a tedy i samotnou obecnou rovnici.

Tím se oklikou vracíme k množině bodů získaných z desetinného rozvoje čísla $\frac{1}{7}$. Tato množina obsahuje právě pět bodů, kerými podle předchozích úvah můžeme zkusit proložit kuželosečku. Nechť řešením je kuželosečka ve tvaru $$x^2+\overline{B}xy+\overline{C}y^2+\overline{D}x+\overline{E}y+\overline{F}=0.$$ Postupně za proměnné $x$ a $y$ dosazujme souřadnice jednotlivých bodů. Dostáváme \begin{align*} [x;y]&=[1;4] & 1+4\overline{B}+16\overline{C}+\overline{D}+4\overline{E}+\overline{F}=&0,\\ [x;y]&=[4;2] & 16+8\overline{B}+4\overline{C}+4\overline{D}+2\overline{E}+\overline{F}=&0,\\ [x;y]&=[2;8] & 4+16\overline{B}+64\overline{C}+2\overline{D}+8\overline{E}+\overline{F}=&0,\\ [x;y]&=[8;5] & 64+40\overline{B}+25\overline{C}+8\overline{D}+5\overline{E}+\overline{F}=&0,\\ [x;y]&=[5;7] & 25+35\overline{B}+49\overline{C}+5\overline{D}+7\overline{E}+\overline{F}=&0. \end{align*}

Nehomogenní soustavu pěti lineárních rovnic o pěti neznámých ve tvaru \begin{align*} 4\overline{B}+16\overline{C}+\overline{D}+4\overline{E}+\overline{F}=&-1,\\ 8\overline{B}+4\overline{C}+4\overline{D}+2\overline{E}+\overline{F}=&-16,\\ 16\overline{B}+64\overline{C}+2\overline{D}+8\overline{E}+\overline{F}=&-4,\\ 40\overline{B}+25\overline{C}+8\overline{D}+5\overline{E}+\overline{F}=&-64,\\ 35\overline{B}+49\overline{C}+5\overline{D}+7\overline{E}+\overline{F}=&-25, \end{align*}

lze řešit například pomocí Gaussovy-Jordanovy eliminace. To jest přepisem dané soustavy jako rozšířené matice a následnou sekvencí elementárních řádkových úprav jejím převedením na redukovaný odstupňovaný tvar. Čtenáři, kteří jsou na sebe přísní, mohou výpočet provést ručně. My ostatní využijeme vhodných matematických programů (např. Matlab, wxMaxima) a řešení soustavy lineárních rovnic přenecháme počítači. Postupně dostaneme $$ \left( \begin{matrix} 4& 16& 1& 4& 1\\ 8& 4& 4& 2& 1\\ 16& 64& 2& 8& 1\\ 40& 26& 8& 5& 1\\ 35& 49& 5& 7& 1\\ \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} -1\\ -16\\ -4\\ -64\\ -25 \end{matrix} \right) \sim \ldots \sim \left( \begin{matrix} 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix}\small 36/19 \\ \small 41/19\\ \small -333/19\\ \small -531/19\\ \small 1638/19 \end{matrix} \right), $$ kde $\ldots$ značí posloupnost elementárních řádkových úprav, které přispěly k převedení rozšířené matice soustavy na redukovaný odstupňovaný tvar. Zjistili jsme, že řešením soustavy lineárních rovnic je vektor $(\overline{B}, \overline{C}, \overline{D}, \overline{E}, \overline{F})=\left(\frac{36}{19},\frac{41}{19}, -\frac{333}{19},-\frac{531}{19},\frac{1638}{19}\right)$.

Hledaná kuželosečka má rovnici $$x^2+\frac{36}{19}xy+\frac{41}{19}y^2-\frac{333}{19}x -\frac{531}{19}y+\frac{1638}{19}=0,$$

resp. s ní ekvivalentní rovnici $$19x^2+36xy+41y^2-333x-531y+1638=0.$$

Ze zadání lze předpokládat, že daná kuželosečka je regulární. Použitím věty 2 zjišťujeme, že $B^2-4AC=36^2-4\cdot 19\cdot 41=-1820<0$, a proto se jedná o elipsu. Jelikož výsledná elipsa byla vytvořena z bodů určených desetinným rozvojem čísla $\frac{1}{7}$, nazývá se tato kuželosečka sedminovou elipsou.

Pokud bychom se neomezovali délkou periody desetinného rozvoje čísla $\frac{1}{7}$ a pokračovali bychom určováním dalších bodů, zjistíme, že k nalezené množině pěti bodů nám přibyde jeden bod navíc, konkrétně bod $[7;1]$. Je zajímavé, že tento bod splňuje nalezenou rovnici sedminové elipsy (vyzkoušejte si), a tudíž leží na této elipse. Sedminová elipsa je tedy ve skutečnosti dána šesti body, nicméně pro její jednoznačné určení jich stačí pouze pět.

Třináctinová hyperbola

Třináctinová hyperbola je označení pro hyperbolu, která prochází pěti (šesti) body generovanými desetinným rozvojem čísla $\frac{1}{13}$.

Periodických čísel s délkou periody právě šest existuje pochopitelně mnohem více. Ovšem ne všechna tato čísla určují svým desetinným rozvojem kuželosečku. Existují však výjimky. Vezměme si kupříkladu zlomek $\frac{1}{13}$, pro který rychle nalezneme, že platí $$\frac{1}{13}=0,\overline{076923}.$$

Stejným postupem jako v případě sedminové elipsy vytvořme množinu pěti bodů ve tvaru $\{[0;7],[7;6],[6;9],[9;2],[2;3]\}$ a opět zkoumejme, zda je těmito body určena kuželosečka.

Postup výpočtu je identický (až na konkrétní numerické hodnoty) jako v předešlém případě. I zde se vyplatí řešit nehomogenní soustavu pěti lineárních rovnic o pěti neznámých pomocí výpočetní techniky. Obecnou rovnici kuželosečky určené pěti body máme možnost určit také prostředky dynamické geometrie, tedy v prostředí aplikací typu GeoGebra. Po sérii výpočtů dojdeme k výsledné rovnici, která je obecnou rovnicí kuželosečky ve tvaru $$141x^2+134xy+9y^2-1872x-684y+4347=0.$$ Bod o souřadnicích $[3;0]$, který by byl šestým bodem vytvořeným z desetinného rozvoje zlomku $\frac{1}{13}$, splňuje taktéž odvozenou rovnici kuželosečky.

Opětovným použitím věty 2 (za předpokladu, že kuželosečka je regulární, což je možné nahlédnout z konkrétní množiny incidenčních bodů) můžeme rozhodnout o jejím typu. Jelikož platí $B^2-4AC=134^2-4\cdot 141\cdot 9=12880>0$, je danou kuželosečkou hyperbola. Protože tato hyperbola byla vytvořena z desetinného rozvoje čísla $\frac{1}{13}$, nazýváme kuželosečku třináctinovou hyperbolou.

Zlomkové kuželosečky jsou pěkným příkladem provázanosti geometrie s aritmetikou. U nás se jejich problematikou systematicky zabýval prof. RNDr. Milan Koman, CSc., na jehož články vážnější zájemce o danou problematiku odkazuji. Naším cílem bylo především ukázat na konkrétním příkladu postup výpočtu obecné rovnice kuželosečky dané pěti body.

Třetí díl seriálu Kuželosečky v obecné poloze je prozatím posledním vydáním určeným primárně pro středoškolské studenty. To samozřejmě neznamená, že další články si zájemci nemohou přečíst. V dalším díle se zaměříme na řešení konkrétní kuželosečky dané její obecnou rovnicí s použitím technik lineární algebry. Text proto bude po čtenáři vyžadovat znalost maticového počtu, výpočtu vlastních čísel a vektorů apod.


© Michal Řepík