LAMÉOVY KŘIVKY

Abstrakt. Článek pojednává o rovinných křivkách, které vznikají zobecněním středové rovnice elipsy. Tyto křivky se nazývají Laméovy křivky nebo též superelipsy. V textu se seznámíme s jejich speciálními případy, jakými jsou například squircle nebo asteroida, a s výpočtem obsahu plochy, kterou superelipsy ohraničují.

superelipsa

Vybrané Laméovy křivky pro $a=b=1$.

diamant

Diamant; $|x|+|y|=1$

kruznice

Kružnice; $|x|^2+|y|^2=1$

squircle

Squircle; $|x|^4+|y|^4=1$

asteroida

Asteroida; $|x|^\frac{2}{3}+|y|^\frac{2}{3}=1$

V analytické geometrii na střední škole popisujeme kuželosečky algebraickými rovnicemi v proměnných $x$ a $y$. Tyto rovnice se vyznačují především tím, že jejich stupeň je roven dvěma. Zobecníme-li středovou rovnici elipsy pro libovolného mocnitele $n\in\mathbb{R}^+$, dostaneme rovnici ve tvaru $$\left|\frac{x}{a}\right|^n+\left|\frac{y}{b}\right|^n=1.$$ Množina všech bodů $[x;y]\in\mathbb{E}^2$, které splňují výše uvedenou rovnici, leží na křivce, nazývající se Laméovou křivkou (Gabriel Lamé 1795-1870) nebo také superelipsou (z angl. superellipse). Absolutní hodnoty jsou v rovnici obsaženy z toho důvodu, aby pro všechny dvojice $[x;y]\in\mathbb{E}^2$ měla pro libovolnou volbu exponentu $n$ levá strana rovnice smysl. Parametr $a>0$ nazýváme (podobně jako v případě elipsy) hlavní poloosou superelipsy, analogicky $b>0$ vyjadřuje vedlejší poloosu superelipsy.

Jednoduchou transformací soustavy souřadnic můžeme psát středovou rovnici superelipsy se středem v bodě $[p,q]$ ve tvaru $$\left|\frac{x-p}{a}\right|^n+\left|\frac{y-q}{b}\right|^n=1.$$ Položme $a=b=1$ a zkoumejme Laméovy křivky pro různé hodnoty exponentu $n$. Pro $n=1$ je rovnicí $$|x|+|y|=1$$ popsána křivka, pro kterou lze v literatuře nalézt označení diamant (z angl. diamond). Jedná se o hranici čtverce s vrcholy v bodech $[1,0]$, $[0,1]$, $[-1,0]$ a $[-1,-1]$. Délka strany je tedy $\sqrt{2}$.

Další speciální Laméovou křivkou, chcete-li superelipsou, je pro $n=2$ kružnice se středovou rovnicí $$|x|^2+|y|^2=1.$$ Velmi zajímavou křivkou je pro $n=4$ Laméova křivka popsaná rovnicí $$|x|^4+|y|^4=1.$$ Nepodařilo se mi dohledat české pojmenování této křivky, nicméně v angličtině se objevuje pojem squircle nebo speciální Laméova kvartika (kvartika je označení pro algebraickou křivku čtvrtého stupně). Je to křivka, která zdánlivě připomíná hranici čtverce se zaoblenými rohy.

Jako poslední ze speciálních případů uveďme křivku s rovnicí $$|x|^{\frac{2}{3}}+|y|^{\frac{2}{3}}=1.$$ Zde je $n=\frac{2}{3}$ a danou rovnicí je popsána Laméova křivka nazývající se asteroida. Asteroida je speciálním případem křivek označujících se jako hypocykloidy. Kotálí-li se tvořící kružnice $h$ o poloměru $r$ svým vnějším obvodem po vnitřním obvodu pevné kružnice $p$ o polměru $4r$, opisuje každý bod kružnice $h$ asteroidu. (Kotálení je výraz užívaný v kinematické geometrii pro sledování pohybu geometrického útvaru po jiném útvaru.)

Jemnější dělení superelips je možné provést s ohledem na exponent $n$. Superelipsa, pro kterou je $n>2$ se někdy označuje jako hyperelipsa. Pro $0< n <2$ zavádíme označení hypoelipsa. Rozdělující křivkou je v tomto případě kružnice ($n=2$). Asteroida a diamant jsou v této terminologii příkladem hypoelips, zatímco squircle bychom řadili mezi hyperelipsy.

Vzhledem k tomu, že exponent v rovnici superelipsy může být libovolné kladné reálné číslo, nemusíme se při studiu omezovat pouze na případy, kdy za $n$ volíme přirozená nebo kladná racionální čísla. Existují superelipsy, kde $n=\text{e}$, $n=\pi$, $n=\sqrt{2}$ nebo například $n=\ln 2$. První dva případy jsou hyperelipsy, zbylé jsou hypoelipsy.

Zajímavým a relativně obtížným problémem je nalezení vzorce pro výpočet obsahu superelipsy s hlavní poloosou $a$ a vedlejší poloosou $b$. K výpočtu využijeme znalosti integrálního počtu funkcí jedné reálné proměnné.

Vyjádřeme z definiční rovnice superelipsy proměnnou $y$, na kterou nahlížejme jako na funkci proměnné $x$ s definičním oborem, jímž je interval $\langle 0,a\rangle$. Platí tedy $$y=y(x)=b\sqrt[n]{1-\frac{x^n}{a^n}},\quad 0\leq x\leq a.$$ Plocha vymezená funkcí $y(x)$ na daném uzavřeném intervalu $\langle 0,a\rangle$ tvoří jednu čtvrtinu celkové plochy superelipsy. Označme symbolem $S_n(a,b)$ obsah superelipsy s hlavní poloosou $a$, vedlejší poloosou $b$ a mocnitelem $n$. Potom zřejmě platí $$S_n(a,b)=4\int_0^ay(x)\,\text{d}x=4\int_0^a b\sqrt[n]{1-\frac{x^n}{a^n}} \text{d}x = 4b\int_0^a \sqrt[n]{1-\frac{x^n}{a^n}} \text{d}x.$$ Integrál řešme vhodnou substitucí ve tvaru \begin{align*} x&=a\sin^{\frac{2}{n}}t,\\ \text{d}x&=\frac{2a}{n}\sin^{\frac{2}{n}-1} t\,\cos t\,\text{d}t. \end{align*} Po přepočítání mezí a dosazení za $x$ a $\text{d}x$ postupně dostáváme (s užitím známé goniometrické identity $\sin^2t+\cos^2t=1$) \begin{align*} S_n(a,b)&=\frac{8ab}{n}\int_0^{\pi/2}\sqrt[n]{1-\frac{\left(a\sin^{\frac{2}{n}}t\right)^n}{a^n}}\,\sin^{\frac{2}{n}-1} t\,\cos t\,\text{d}t=\\ &=\frac{8ab}{n}\int_0^{\pi/2}\sqrt[n]{1-\frac{a^n\sin^2t}{a^n}}\, \sin^{\frac{2}{n}-1} t\,\cos t\,\text{d}t=\\ &=\frac{8ab}{n}\int_0^{\pi/2}\sqrt[n]{\cos^2t}\,\sin^{\frac{2}{n}-1} t\,\cos t\,\text{d}t=\\ &=\frac{8ab}{n}\int_0^{\pi/2}\sin^{\frac{2}{n}-1}t\,\cos^{\frac{2}{n}+1}t\,\text{d}t. \end{align*}

Primitivní funkci k funkci $\sin^{\frac{2}{n}-1}t\,\cos^{\frac{2}{n}+1}t$ pro libovolné kladné mocnitele $n$ nelze napsat užitím elementárních funkcí (tj. $x$, $\cos x$, $\sin x$, $\text{e}^x$, ad.), proto k výpočtu určitého integrálu využijeme tabulkové hodnoty, kterou lze v literatuře nalézt ve tvaru $$\int_0^{\pi/2}\sin^{r-1}x\cos^{s-1}x\text{d}x=\frac{1}{2} \frac{\Gamma\left(\frac{r}{2}\right)\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)} {\Gamma\left(\frac{r+s}{2}\right)},$$ kde $\Gamma(x)$ je Eulerova gama funkce definovaná pro všechna $x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}^-_0$ definičním vztahem $$\Gamma(x)=\int_0^\infty \text{e}^{-t}\,t^{x-1}\text{d}t.$$

Obsahem tohoto článku není studium funkce gama, nicméně pro další práci je užitečné ukázat alespoň dvě základní vlastnosti, které lze poměrně jednoduše odvodit z definice funkce $\Gamma(x)$ metodou per partes. Platí \begin{align*} \Gamma(n)&=(n-1)!,\quad n\in\mathbb{N},\\ \Gamma(x+1)&=x\Gamma(x),\quad x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}^-_0. \end{align*} Využijme druhého z uvedených vztahů a počítejme \begin{align*} S_n(a,b)&=\frac{8ab}{n}\int_0^{\pi/2}\sin^{\frac{2}{n}-1}t\,\cos^{\frac{2}{n}+1}t\,\text{d}t= \frac{8ab}{n}\cdot\frac{1}{2}\frac{\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)\Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\Gamma\left(1+\frac{2}{n}\right)}=\\ &=4ab\frac{\frac{1}{n}\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)\Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\Gamma\left(1+\frac{2}{n}\right)} =4ab\frac{\left(\Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)^2} {\Gamma\left(1+\frac{2}{n}\right)}. \end{align*} Nalezli jsme předpis, pomocí něhož můžeme určit obsah libovolné oblasti ohraničené Laméovou křivkou. Ve speciálních případech tak můžeme nalézt vzorce pro výpočet obsahu kružnice ($S=\pi r^2$) nebo elipsy ($S=ab\pi$) a dalších. Pro praktické užití odvozené formule je však žádoucí, abychom byli seznámeni se základními hodnotami Eulerovy gama funkce.

Cílem článku bylo zobecnit středovou rovnici elipsy a zavést pojem Laméovy křivky, který s sebou přináší další terminologii jako superelipsa, hyperelipsa, hypoelipsa či squircle, se kterými se v matematice na střední a často ani na vysoké škole neseznámíte. Ukázali jsme si speciální případy Laméových křivak a odvodili vzorec pro výpočet obsahu ploch jimi ohraničených s využitím Eulerovy funkce gama.


© Michal Řepík