ZAVEDENÍ EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE $\mathrm{e}^x$ PROSTŘEDKY STŘEDOŠKOLSKÉ MATEMATIKY

Abstrakt. Tento článek lze charakterizovat jako odvážný pokus o elementární zavedení přirozené exponenciální funkce. Tato funkce má zásadní význam pro matematickou analýzu a studenti se s jejími hlubšími vlastnostmi seznamují v každém základním kurzu vysokoškolské matematiky.

Grafem lineární funkce $g(x)=ax+b$ je přímka. Paramatr $a$, kterému říkáme směrnice, vyjadřuje poměr přírůstku funkční hodnoty $\Delta y$ vůči přírůstku nezávisle proměnné $\Delta x$. Tedy $a=\Delta y/\Delta x$, přičemž $\Delta x=x_2-x_1$ a $\Delta y=g(x_2)-g(x_1)$ ($x_1,x_2\in\mathbb{R}$, $x_1\neq x_2$). Čím je číslo $a$ větší, tím je graf funkce $g(x)$ strmější a přímka svírá s kladným směrem osy $x$ větší úhel.

Skutečnost, že ke kružnici lze sestrojit přímku, která s touto kružnicí má společný právě jeden bod, je každému známa z učiva matematiky základní školy. Takové přímce říkáme tečna. Pojem tečny však můžeme zobecnit i na jiné křivky, než jen na kružnici. Ve fyzice, kde studujeme pohyb hmotného bodu po křivočaré trajektorii, má vektor rychlosti v každém bodě trajektorie směr tečny sestrojené v tomto bodě k dané křivce. O tečně můžeme hovořit jako o přímce, která se přimyká k dané křivce právě v jednom bodě, to znamená, že na okolí tohoto bodu se s křivkou nikde jinde neprotne.

Studovanou křivkou nechť je graf funkce $f(x)$, tečnou v bodě $[x_0,f(x_0)]$ buď přímka (graf lineární funkce) daná předpisem $g(x)=ax+b$. Jelikož má přímka s grafem funkce $f(x)$ společný bod $[x_0,f(x_0)]$, platí $g(x_0)=f(x_0)=ax_0+b$. Odečteme-li tyto vztahy navzájem od sebe, obdržíme rovnici \begin{equation} g(x)-f(x_0)=a(x-x_0). \label{primka} \end{equation} Tato rovnice vyjadřuje rovnici přímky se směrnicí $a$, která prochází bodem $[x_0,f(x_0)]$. Pro další výpočty bude výše uvedený vztah užitečný.

Přestože nemáme v této chvíli nástroj, kterým bychom mohli k zadané funkci najít rovnici její tečny v libovolném bodě, můžeme provést několik zajímavých úvah.

Směrnice tečny ke grafu funkce v konkrétním jejím bodě dává informaci o strmosti růstu nebo poklesu funkční hodnoty. Je to podobné, jako byste cestovali po horách. Stoupání je v určitém místě prudší než jinde, někdy jdete po rovině, jindy z kopce. Kdybychom měli k dispozici výškový profil cesty, stoupání v konkrétním místě bychom určili sestrojením tečny v odpovídajícím bodě výškového profilu a stanovením její směrnice. Hodnota směrnice přímo souvisí s velikostí úhlu, který tato přímka svírá s kladným směrem osy $x$.


Jaký bude předpis funkce $f(x)$, která má následující vlastnost? V každém jejím bodě $[x_0,f(x_0)]$ je směrnice tečny sestrojené ke grafu funkce rovna funkční hodnotě $f(x_0)$. Aby zadání problému bylo jednoznačné, dodejme, že směrnice tečny v bodě $[0,1]$ je $1$.

V tomto okamžiku je klíčové, abychom dobře porozuměli samotnému zadání problému. Naším úkolem bude najít předpis funkce, pro kterou platí, že funkční hodnota je rovna směrnici tečny v daném bodě $x_0$. Tedy například má-li naše funkce v bodě $x_0$ funkční hodnotu $3$, je směrnice tečny sestrojené ke grafu funkce v bodě $[x_0,3]$ rovněž $3$. Problém je ten, že neznáme bod $x_0$. Proto zadání doplňujeme podmínkou, že směrnice tečny v bodě $[0,1]$ je $1$, z čehož budeme vycházet.

V následujícím textu se budeme snažit takovou funkci sestrojit. Pro jednoduchost sestrojíme pouze její zúžení na interval $\langle 0,1\rangle$.

Rozdělme interval $\langle 0,1\rangle$ na $n$ shodných dílků, každý dílek bude dlouhý $\frac{1}{n}$. Rovněž tím dostaneme rozdělení intervalu $\langle 0,1\rangle$ na podintervaly ve tvaru $\left\langle\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right)$, kde $0\leq k< n-1 $. Speciálně pro $k=n-1$ uvažujeme interval $\left\langle\frac{n-1}{n}, 1\right\rangle$.

Tečna v bodě $[0,1]$ se směrnicí 1 má předpis $_n^0f(x)=1+x$. Tato lineární funkce nejlépe vystihuje chování funkce $f(x)$ na intervalu $\left\langle 0,\frac{1}{n}\right)$. V bodě $x=\frac{1}{n}$ přebírá tuto vlastnost lineární funkce $_n^1f(x)=\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(\frac{n-1}{n}+x\right)$, neboť směrnice je rovna funkční hodnotě v bodě $\frac{1}{n}$, což je $1+\frac{1}{n}$. Definiční obor funkce $_n^1f$ je interval $\left\langle \frac{1}{n},\frac{2}{n}\right)$.

Podobným způsobem pokračujeme dál. V bodě $\frac{2}{n}$ je $_n^2f\left(\frac{2}{n}\right)= \left(1+\frac{1}{n}\right)^2$ a funkce $_n^2f$ má na intervalu $\left\langle \frac{2}{n},\frac{3}{n}\right)$ předpis $_n^2f(x)=\left(1+\frac{1}{n}\right)^2\left(\frac{n-2}{n}+x\right)$.

Odvoďme obecný předpis lineární funkce $_n^kf$ na intervalu $\left\langle \frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right)$. Vyjděme z toho, že funkční hodnota funkce $_n^kf$ v bodě $\frac{k}{n}$ je $_n^kf\left(\frac{k}{n}\right)= \left(1+\frac{1}{n}\right)^k$ a že tato hodnota je rovněž směrnicí hledané přímky. Rovnice přímky procházející bodem $\left[\frac{k}{n}, \left(1+\frac{1}{n}\right)^k\right]$ má tvar (srovnejte se vztahem (\ref{primka})) $$_n^kf(x)-\left(1+\frac{1}{n} \right)^k=\left(1+\frac{1}{n} \right)^k\left(x-\frac{k}{n} \right).$$ Jednoduchými úpravami dostáváme pro funkci $_n^kf$ předpis $$_n^kf(x)=\left(1+\frac{1}{n} \right)^k\left(\frac{n-k}{n} +x\right).$$ Sami si zpětně ověřte, že předešlé předpisy pro funkce $_n^0f$, $_n^1f$ a $_n^2f$ jsou správně. Konečně pro $k=n-1$ je $_n^{n-1} f(x)=\left(1+\frac{1}{n} \right)^{n-1} \left(\frac{1}{n} +x\right)$. Je zřejmé, že funkční hodnota v bodě $1$ je $\left(1+\frac{1}{n} \right)^n$.

Výsledek výše popsaných výpočtů je pro pevně zvolené dělení intervalu $\langle 0,1\rangle$ na $n$ shodných dílů znázorněn na následujícím schématu.

Velikost čísla $n$ není pevně stanovena. Zvolíme-li například $n=10$, dostaneme odlišný výsledek, než pokud bude $n=10^{10}$. S rostoucím $n$ se vzdálenost mezi sousedními body dělení zmenšuje. Výsledná funkce (označme ji $f_n(x)$), která se pro konkrétní přirozené číslo $n$ sestává z právě $n$ lineárních funkcí $_n^kf(x)$, se se zvyšujícím se $n$ přibližuje námi hledané funkci $f(x)$. Tedy funkce $f(x)$ je výsledkem předchozích úvah v případě, kdy $n$ roste nade všechny meze, chcete-li do nekonečna. Tuto skutečnost značíme $n\to\infty$. Tedy jestliže $n\to\infty$, potom $f_n(x)\to f(x)$.

Uvažujme bod $x_0$ z intervalu $\langle 0,1\rangle$. Zabývejme se nyní otázkou, jak se mění funkční hodnota $f_n(x_0)$ v závislosti na $n$.

Jednoduché je prozkoumat krajní body intervalu $\langle 0,1\rangle$. V bodě $0$ je funkční hodnota funkce $f(x)$ rovna jedné, neboť to plyne ze zadání funkce $f(x)$. O něco málo složitější je odhadnout chování funkce v bodě $x_0=1$. Zde je pro libovolné $n$ funkční hodnota funkce $f_n$ rovna $f_n(1)=\left(1+\frac{1}{n} \right)^n$. Dosazováním stále větších a větších přirozených čísel za $n$ (například $n=10^3,\,10^4,\ldots$) se můžete přesvědčit, že se hodnota výrazu $\left(1+\frac{1}{n} \right)^n$ bude přibližovat jisté konstantě. Protože se toto číslo vyskytuje i jinde v matematice, zavedlo se pro něj speciální označení $\mathrm{e} $ a z historických důvodů jej nazýváme Eulerovo číslo. Platí $$n\to \infty\Rightarrow \left(1+\frac{1}{n} \right)^n\to \mathrm{e}=2,71828 18284 59045\ldots.$$

Eulerovo číslo má mnoho zajímavých vlastností, například je iracionální, což znamená, že neexistuje jeho vyjádření pomocí zlomku. Takové vlastnosti mají například i čísla $\pi$ nebo $\sqrt{2}$. Desetinný zápis takových čísel je nekonečný a neperiodický. Další vlastností je tzv. transcendentnost, neboli skutečnost, že číslo $\mathrm{e}$ není kořenem žádného polynomu s celočíselnými koeficienty. Tuto vlastnost má i číslo $\pi$, ale již číslo $\sqrt{2}$ je tzv. algebraické, neboť existuje polynom (např. $x^2-2$), jehož je číslo $\sqrt{2}$ kořenem. Výsledky teorie množin ukázaly, že transcendentní čísla jsou skoro všechna reálná čísla.

Zbývá prodiskutovat případ, kdy $x_0$ je různé od krajních bodů intervalu $\langle 0,1\rangle$. Zřejmě je $f_n(x_0)=_n^kf(x_0)$, kde $k$ splňuje soustavu nerovnic $\frac{k}{n} \leq x_0 < \frac{k+1}{n}$. Odtud pro $k$ nalezneme, že $x_0n-1< k \leq x_0n$ nebo ekvivalentně $k=\lfloor x_0n \rfloor$.

Takto pro libovolné $n$ nalezneme příslušné $k$ a vypočítáme funkční hodnotu $_n^kf(x_0)$. Budeme-li volit $n=10,10^2,10^3,\ldots$, dostaneme posloupnost funkčních hodnot $f_{10}(x_0), f_{10^{2}}(x_0), f_{10^3}(x_0), \ldots$, která se s rostoucím $n$ přibližuje ke hledané hodnotě $f(x_0)$. Nyní provedeme poměrně náročnou úvahu. Víme, že pokud zvětšujeme $n$, zkracují se délky jednotlivých podintervalů. To znamená, že sousední body dělení intervalu $\langle 0, 1\rangle$ se k sobě přibližují. Tedy i vzdálenost mezi statickým bodem $x_0$ a příslušným bodem $\frac{k}{n}$, který je k bodu $x_0$ nejblíže, se zmenšuje. Pokud roste $n$ nade všechny meze, můžeme předpokládat, že pro $k$ platí přímo rovnost $k=nx_0$. Potom platí $$f_n(x_0)=\left(1+\frac{1}{n} \right)^{nx_0} \left(\frac{n-nx_0}{n} +x_0\right)= \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right]^{x_0}.$$ Odtud již snadno zjistíme, že pro $n\to \infty$ platí, že $\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right]^{x_0}\to \mathrm{e}^{x_0}$. Zjišťujeme, že funkční hodnota v bodě $x_0$ je $f(x_0)=\mathrm{e}^{x_0}$. Protože jsme $x_0$ volili zcela libovolně, vlastně tak dostáváme obecný předpis hledané funkce ve tvaru $$f(x)=\mathrm{e}^{x}.$$ Je zřejmé, že se jedná o exponenciální funkci o základu rovném Eulerovu číslu $\mathrm{e}$. Tato funkce, kterou nazýváme přirozenou exponenciální funkcí, je velmi významnou funkcí matematické analýzy. Připomeňme, že v každém bodě $[x_0,\mathrm{e}^{x_0}]$ grafu funkce $\mathrm{e}^x$ je směrnice tečny sestrojené v tomto bodě rovna funkční hodnotě, tedy $a=\mathrm{e}^{x_0}$. Proto má rovnice tečny předpis $$g(x)-\mathrm{e}^{x_0}=\mathrm{e}^{x_0}(x-x_0).$$

Definiční obor funkce $f(x)$ byl omezen jen na interval $\langle 0,1 \rangle$. K rozšíření funkce na množinu reálných čísel stačí ve výše uvedeném postupu předpokládat, že $k$ je prvkem množiny celých čísel. Požadované vlastnosti této funkce tak zůstávají zachovány pro všechna reálná čísla.


© Michal Řepík